در طول تاریخ، بشر همیشه نیاز به شمارش، بیان عملیات تجاری و حل مشکلات دیگری که در توسعه ریاضیات به وجود آمده است داشته است. ما تکامل مجموعه های مختلف را به گونه ای تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که هر یک از آنها در مجموعه بعدی گنجانده شود. با این حال، تکامل این اعداد ممکن است در زمان همزمان باشد.
منظور از تکنیک های شمارش هر الگوریتمی است که برای شمارش، یعنی یافتن کاردینال یک مجموعه استفاده می شود. در تکنیک های شمارش، Combinatorics مستحق برخورد ویژه است: تغییرات، جایگشت ها و ترکیب ها. اگرچه ما در این مبحث به آن نخواهیم پرداخت زیرا قبلاً به آنها پرداخته شده است.
در این پست قصد داریم یکی از مهمترین کاربردهای مشتقات را بررسی کنیم: معادله خط مماس و خط عادی. و همچنین برنامه های مختلفی که می توانیم پیدا کنیم. ما با نگاهی به تفسیر مشتق و سپس سه نوع تمرینی که می‌توانیم پیدا کنیم شروع می‌کنیم: تفسیر هندسی مشتق:
مقدمه ژول هانری پوانکاره ریاضیدان فرانسوی قرن نوزدهمی بود که نه تنها به خاطر کار ریاضی خود، بلکه برای کارش به عنوان فیزیکدان، دانشمند نظری و فیلسوف نیز برجسته بود. از مهمترین آثار او در فیزیک، آثار مربوط به نظریه نور و امواج الکترومغناطیسی برجسته است.
امروز می خواهیم ویژگی دیگری از توابع (و/یا سری ها را همانطور که در ادامه خواهیم دید) مطالعه کنیم. ما ابتدا وقتی می گوییم یک تابع از بالا و زمانی که به زیر محدود می شود مطالعه می کنیم تا در نهایت بتوانیم تعیین کنیم که یک تابع چه زمانی محدود است.
با توجه به بی نهایت بودن اعداد طبیعی، باید به دنبال مجموعه ای از کلمات، نمادها و قوانینی باشیم که به ما امکان می دهد اعداد طبیعی را تعیین کنیم و بالعکس. در حالی که می توان با آنها کار کرد. در این پست قصد داریم سیستم های شماره گذاری، ویژگی های آنها و برخی از رایج ترین آنها را تعریف کنیم، مانند سیستمی که استفاده می کنیم:
امروز می خواهیم با یک تمرین سرگرم کننده کار کنیم که می تواند در همه سطوح با اصلاح پیچیدگی آن انجام شود: مربع جادویی. مربع جادویی جداول یا بهتر بگوییم شبکه هایی با اعداد صحیح هستند به گونه ای که مجموع شکل های سطرها و ستون ها و همچنین مجموع مورب اصلی همیشه همان مقدار است که ثابت جادویی نامیده می شود.
زبان جبری روشی برای ترجمه به نمادها و اعداد آن چیزی است که ما معمولاً به عنوان عبارات خاص در نظر می گیریم. به این ترتیب، کمیت‌های مجهول را می‌توان با نمادهای آسان برای نوشتن دستکاری کرد، که به ساده‌سازی قضایا ، فرمول‌بندی معادلات و نامعادلات و مطالعه نحوه آنها را حل کند.
دیروز مطالعه اجسام هندسی را انجام دادیم. امروز قصد داریم آن مطالعه را ادامه دهیم، اما در این مورد برخی از اجسام هندسی خاص، اجسام گرد. اجسام گرد، اشکال هندسی هستند که حداقل یکی از چهره های منحنی خود را دارند. آنها همچنین با نام بدنه های انقلاب شناخته می شوند زیرا همه آنها با چرخاندن یک شکل حول یک محور به دست می آیند.
ما قبلاً می دانیم که چگونه یک متغیر تصادفی را بسته به نوع مورد نظر مطالعه کنیم، نحوه ایجاد جدول فراوانی و نحوه محاسبه معیارهای موقعیت و پراکندگی را دیده ایم. امروز می‌خواهیم روی روش‌های مختلفی برای نمایش داده‌های جمع‌آوری‌شده در جداول فراوانی تمرکز کنیم، که بستگی به نوع متغیری دارد که با آن کار می‌کنیم.
کسره یا شکسته تقسیم چیزی به قطعات است. اگر کسری 2/4 را مثال بزنیم، به صورت دو چهارم خوانده می شود و کاری که انجام می دهد نشان دادن دو جزء بر چهار جزء کل است. پس می‌توانیم ببینیم که چیزی که به این کسری می‌دهد، عددی است که در زیر آن مخرج می‌خوانیم، زیرا کسر را دو «چهارم» می‌نامیم.
در رشته ریاضیات، کسری یا کسری، تقسیم چیزی به قطعات است. اگر کسر ¾ را به عنوان مثال در نظر بگیریم، به عنوان سه چهارم خوانده می شود و کاری که انجام می دهد نشان دادن سه جزء از چهار مجموع است. در اینجا می بینیم که چیزی که به این کسر نام می دهد، عدد پایینی است که ما آن را مخرج می نامیم زیرا کسر را "
پس از یک تابستان طولانی و بسیار طولانی، بازگشت به روال ضروری است. ما به ریاضیات برمی‌گردیم و امروز باید ویژگی‌های اجسام هندسی، یعنی تعداد وجوه، رئوس، محورهای تقارن و غیره را مطالعه کنیم. ابتدا با مکعب شروع می کنیم: CUBE: 2. نوع شکل: چند وجهی منظم.
با تجزیه و تحلیل ترکیبی، به بخشی از جبر اشاره می کنیم که به مطالعه گروه هایی می پردازد که با عناصر داده شده، متفاوت از یکدیگر، بر اساس تعداد عناصری که در هر گروه گنجانده شده اند، توسط نوع عناصر و به ترتیب قرارگیری آنها. تعداد عناصر موجود برای تشکیل گروه‌های مختلف را پایه و به تعداد عناصر درگیر در هر گروه، ترتیب می‌گویند.
همانطور که قبلاً می دانیم، ترکیبات بخشی از جبر است که به مطالعه گروه هایی می پردازد که می توانند با عناصر خاصی تشکیل شوند و تعداد عناصر، نوع آنها و ترتیب آنها را از هم متمایز می کند. گروه بندی های تشکیل شده می توانند تغییرات، جایگشت یا ترکیب باشند.
تابش به عنوان عملکرد معکوس تقویت تعریف می شود. توان یک عبارت ریاضی است که شامل دو عبارت با نام است: پایه a و توان n. به صورت زیر نوشته شده است: خوانده شده مانند "a به n افزایش یافته" برای درک بهتر تعریف تسویه، فرض کنید یک عدد a به ما داده می شود و از ما خواسته می شود عدد دیگری را محاسبه کنیم، به طوری که با ضرب عدد b در خودش عدد a را به ما می دهد.
پس از جمع‌آوری داده‌های نمونه‌ای که قصد مطالعه آن را داریم، لازم است آنها را با مرتب کردن آنها در قالب یک جدول گروه بندی کنیم، این جدول توزیع فرکانس نامیده می شود. یاجدول فرکانس. در این بخش بر روی جداول فراوانی برای متغیرهای تصادفی یک بعدی تمرکز خواهیم کرد (متغیرهای تصادفی دو بعدی را بعداً مطالعه خواهیم کرد).
عملیات ترکیبی را می نامیم که در آنها چندین عملیات حسابی حل می شوند. برای به دست آوردن نتیجه صحیح، لازم است قوانینی را رعایت کنید و اولویت بین عملیات را در نظر بگیرید. در وهله اول باید اصطلاحات حاضر را از هم جدا کرد تا بتوان بعداً هر کدام از اینها را حل کرد.
تعریف بگذارید f یک تابع پیوسته باشد که در دامنه A تعریف شده است، مشتق تابع f در نقطه a از مجموعه A تعریف شده و با f´(a) نشان داده می شود. ، زمانی که مقدار محدودیت بعدی: اگر h=x-a را صدا بزنیم، می توانیم تعریف را نیز به صورت زیر بنویسیم:
هویت های مثلثاتی برابری هایی هستند که شامل توابع مثلثاتی هستند. این هویت‌ها همیشه زمانی مفید هستند که ما نیاز به ساده‌سازی عباراتی داریم که دارای توابع مثلثاتی هستند، هر مقداری که به زوایایی که این نسبت‌ها برای آنها تعریف شده‌اند اختصاص داده شود.
برای انجام یک مطالعه آماری از ویژگی هایی که می خواهیم در یک جامعه خاص مطالعه کنیم، لازم است نمونه ای از جامعه مذکور را تجزیه و تحلیل کنیم که از آن بتوان اعداد خاصی را به دست آورد که به ما امکان تجزیه و تحلیل جمع آوری شده را می دهد. داده. برای این کار از جدول فرکانس که باید از قبل آماده کنیم استفاده می کنیم.
ما قصد داریم مفهوم جدیدی از تجزیه و تحلیل ریاضی را مطالعه کنیم: تابع. یک تابع ترکیبی تابعی است که از ترکیب دو تابع تشکیل می شود، یعنی تابعی که از اعمال یک تابع در ابتدا به x و سپس اعمال یک تابع جدید به این نتیجه حاصل می شود. روشی که ما تابع مرکب را نشان می دهیم یک دایره کوچک بین دو تابع یا g(f(x)) است، به این معنی که ابتدا تابع f اعمال می شود و تابع g به نتیجه اعمال می شود.
در مقاله امروز به شاخه آمار برمی گردیم تا در مورد یکی از مهم ترین توزیع های گسسته صحبت کنیم: توزیع پواسون. این توزیع در موقعیت‌هایی استفاده می‌شود که می‌خواهید تعداد رویدادهای یک نوع خاص را که در یک فضا یا بازه زمانی معین رخ می‌دهند، تعیین کنید.
امروز یکی از سه مسئله معروف دوران باستان را بررسی می کنیم: مربع دایره،در واقع یک مشکل غیر ممکن تلقی می شود و در پایان در قرن نوزدهم، فردیناند لیندمان، ریاضیدان، نشان داد که این مسئله به دلیل ویژگی ماورایی عدد پی غیرقابل حل است. در یونان باستان، در حدود قرن پنجم قبل از میلاد، یک سری مسائل هندسی پیشنهاد شد که با تکنیک‌های هندسی صرف با استفاده از خط‌کش و قطب‌نما حل شوند.
در مقاله امروز قصد داریم نمایش توابع درجه دوم یعنی معادلات درجه دوم را بررسی کنیم. با توجه به اینکه نمودارهای معادلات درجه دو مطابق با پارابولای است، در این پست قصد داریم به بررسی عناصر مشخصه آنها بپردازیم. عملکرد ما با اولین مراحلی که می خواهیم برای انجام نمایش یک تابع درجه دوم در نظر بگیریم شروع می کنیم، که همانطور که می دانیم به شکل:
بعد از دیدن موقعیت های نسبی دو دایره، امروز به بررسی زوایای یک دایره می پردازیم. زاویه مرکزی: زاویه ای است که راس آن در مرکز محیط است، یعنی زاویه ای که توسط دو پرتو تعیین می شود که منشاء آن در مرکز است. و بنابراین آنها شعاع های محیط هستند.
همه چیز در ریاضیات اعداد، قضایا، برهان ها، محاسبات… و چیزهای دیگر بی پایانی نیستند که به همان اندازه خسته کننده به نظر می رسند (اگرچه برای من اینطور نیست). امروز قصد داریم جنبه ادبی یک ریاضیدان بزرگ ایرانی را که در قرن یازدهم به دنیا آمد کشف کنیم:
هنگامی که روش‌های موجود برای حل معادلات خطی را دیدیم، چگونگی حل برخی از سیستم‌های غیرخطی را با استفاده از این روش‌ها نیز مطالعه خواهیم کرد.. انتخاب روش مناسب بسیار مهم است، در غیر این صورت وضوح آن می تواند بسیار سنگین، دشوار و در نتیجه اشتباه کردن آسان باشد.
در موارد قبلی برخی از خصوصیات دایره مانند نقاط تماس یعنی موقعیت نسبی یک دایره و یک خط را بررسی کردیم. اما اکنون زمان مطالعه بیشتر در مورد هندسه دایره فرا رسیده است. برای شروع، تعاریف رسمی قبلی را مشاهده خواهیم کرد: تعریف محیط از مرکز O و شعاع r را مجموعه نقاط در صفحه با فاصله مساوی از نقطه O با فاصله ای برابر با قطعه r.
امروز قصد داریم روش های مختلف حل سیستم های معادلات خطی با دو مجهول را مطالعه کنیم. سیستم های معادلات خطی به این شکل هستند: که در آن a، b، c، a´، b´and c´ اعداد واقعی هستند. برای حل این نوع سیستم معادلات، یعنی مقدار x و y را پیدا کنید که هر دو معادله را برآورده کند.
هنگامی که تابع ترکیبی را دیدیم، تابع معکوس را نیز مطالعه خواهیم کرد. از آنجایی که قبلاً در خصوصیات توابع مرکب به آن اشاره کردیم. به همین مناسبت، فرآیند به دست آوردن تابع معکوس را مطالعه خواهیم کرد و همچنین برخی از مهم ترین نمونه های توابع معکوس و نحوه نمایش آنها را مشاهده خواهیم کرد.
ریاضی دان اصلی که پیشین نظریه مجموعه ها در نظر گرفته می شود، جورج کانتور، ریاضیدان آلمانی است که بین سال های ۱۸۴۵ تا ۱۹۱۸ زندگی می کرد. نظریه مجموعه ها شاخه ای از ریاضیات است که همانطور که از نامش پیداست، به بررسی خواص مجموعه ها می پردازد. مجموعه، به قول کانتور، مجموعه ای از اشیاء است که هم هنگام تأمل در آنها به وضوح مشخص و متمایز می شوند و هم در تفکر ما، این مجموعه اشیاء یک کل را تشکیل می دهد.
ما می خواهیم کمی عمیق تر در نظریه اعداد کاوش کنیم و مفهوم جدیدی را ارائه کنیم که در عین حال برای همه شناخته شده است: اعداد اول. ما به طور قطع نمی دانیم که در چه سالی اعداد اول ظاهر شدند، اما بیش از 20000 سال پیش (که به زودی گفته می شود) به نظر می رسد که آنها با آنها کار می کردند یا حداقل آنها را می شناختند، به دلیل اینکه علائمی که در استخوان یافت می شود اگرچه اولین شواهد مکتوب به 300 سال قبل از میلاد برمی گردد.
ما به کار بر روی نظریه اعداد ادامه می دهیم، امروز نوبت معادلات دیوفانتین است که همانطور که از نامشان مشخص است ناشی از دیوفانتوس است. ، ریاضیدان یونان باستان که کارش از اهمیت و تأثیر زیادی بر نسل های بعدی برخوردار بود. مشکلاتی که دیوفانتوس به آن پرداخته بود با جنبه‌های عددی محض که در آن ویژگی‌های اعداد صحیح دخالت می‌کنند، سروکار داشت.
همانطور که در مقالات قبلی اشاره کردیم، یکی از مهمترین کاربردها در ریاضیات حل مسائل بهینه سازی است. اما منظور ما از مسائل بهینه سازی چیست؟ چگونه می توانیم آنها را حل کنیم؟ نگران نباشید، زیرا این و سایر نگرانی های شما در صورت ادامه خواندن برطرف می شود.
ما قبلاً بارها با ماتریس ها کار کرده ایم و در واقع در مورد رتبه یک ماتریس نیز صحبت کرده ایم. اما منظور ما از رتبه یک ماتریس چیست؟ و چگونه می توانیم آن را محاسبه کنیم؟ اینها سوالاتی است که در این پست به آنها پاسخ خواهیم داد. ابتدا با ارائه تعریف شروع می کنیم و سپس به دو روش برای یافتن رتبه یک ماتریس می پردازیم:
برنامه‌نویسی خطی روشی برای حل مسائل بهینه‌سازی است که مشمول یک سری شرایط یا محدودیت‌هایی هستند که توسط یک سری نابرابری ارائه می‌شوند. برای انجام حل این نوع مشکل، لازم است این محدودیت ها در صفحه نمایش داده شود، که باعث ایجاد منطقه امکان پذیر می شود، یعنی ، منطقه ای که در آن راه حل تابع هدفما پیدا می شود، این همان تابعی است که ما باید آن را به اندازه مناسب حداکثر یا کمینه کنیم.
یکی از مهم ترین ویژگی ها در هنگام ساختن نمایش گرافیکی یک تابع، مطالعه یکنواختی آن است، یعنی جایی که عملکرد ما کم و زیاد می شود. و همچنین تعیین حداکثرها و/یا حداقل ها در صورت داشتن آنها. همچنین، اگر هنوز در مورد نمایش شک داریم، می توانیم انحنا و نقاط عطف آن را نیز مطالعه کنیم.
Thales of Miletus (630 قبل از میلاد - 545 قبل از میلاد) یکی از مشهورترین فیلسوفان یونانی بود، اما نه تنها به این دلیل، بلکه مانند همه خردمندان آن کشور برجسته بود. زمان، همچنین به عنوان یک دانشمند و ریاضیدان برجسته شد، جایی که مشارکت او در هندسه بسیار مهم است، و یکی از این مشارکت‌ها همان چیزی است که قرار است روی آن تمرکز کنیم، معروف "
برگردیم به دنیای شانس و احتمال، این بار قصد داریم توزیع دو جمله ای را مطالعه کنیم. تعریف: می گوییم که یک متغیر تصادفی X زمانی که آزمایش برنولی را n بار در شرایط یکسان تکرار می کنیم، توزیع دوجمله ای ارائه می دهد. که هر آزمایشی است که در آن فقط دو نتیجه ممکن به نام موفقیت و شکست وجود داشته باشد.